量子力学的中心：薛定谔方程，毕竟神奇在何处？
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作者：Marianne Freiberger
翻译：ignhysp
审校：Nour
教科书上有一个典范的成绩：当你汽车的油耗尽后，你必要多大的力去推进它，才干够将它增速到给定的速率呢？来自于牛顿活动第二定律的答案是：F=ma，此中a是增速率，m为质量，F为力的轻重。这个十分直接而又精妙的定律可以刻画种种千般的活动。最少在实际上它可以解答这个天下的一切物理成绩。
真的么？当人们开头从极小的标准去思索这个天下时，好比：电子绕着原子核旋转，他们熟悉到统统变得十分奇异，牛顿定律仿佛不克不及用了。为了形貌这个微观的天下，你必要用到二十世纪初期提高而来的量子力学。这个实际的中心是薛定谔方程，可以类比经典力学中的牛顿第二定律。
波和粒子
“在经典力学中，我们用地点和动量来形貌一个物理体系的形态”，剑桥大学的实际物理学家纳齐姆·布瓦塔表明道。比如：你有一个桌子，外表放了很多可以挪动的台球，只需你晓得了每一个球在某个时候t的地点和动量（动量是质量乘以速率），你就可以晓得这个体系在这个时候t的一切信息：统统物体的活动形态和速率。“ 我们会问：假如我们晓得体系的初始形态，即，假如我们晓得体系在t时候的形态，那么体系的形态将会怎样演化？我们可以用牛顿第二定律处理这个成绩。在量子力学中，假如问相反的成绩，取得的答案却是难搞的，由于地点和动量不再是形貌这个体系的切合的变量了。”
成绩的紧张是：量子力学试图去形貌的目标及其举动并不是像小小的台球那么简便，偶尔将它想象为波更好一些。“以光作为例，牛顿除了在引力方面的事情，对光也十分感兴致。”布瓦塔说，“依据牛顿的实际，光可以被形貌为粒子。但是之后，依据很多其他封建家对其举行的研讨，包含詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）提供的实际了解，我们发觉，光用波来形貌。”
但是在1905年的时分，爱因斯坦熟悉到，波的图像也不完全准确。为了表明光电效应，你必要将光束想象为粒子流，爱因斯坦称这种粒子为光子。光子的数目恰比于光强，每个光子的能量恰比于频率：
此中
，它是普朗克常数，是一个十分小的常数，以马克斯-普朗克（Max Planck）的名字定名，1900年他在黑体辐射的事情中以前猜出了这个公式。“如今我们面临的成绩是，形貌光的准确办法是偶尔将它当作波，偶尔将其当作粒子”，布瓦塔说。
爱因斯坦的后果可以接洽到封建界恒久以来的积极，从十七世纪克里斯蒂安·惠更斯便开头实验，十九世纪威廉·哈密顿持续举行探究，他们都想要一致关于光的动摇性与粒子性的物理。被光在不同情况下的特性勉励，年轻的法兰西物理学家路易·维克多·德布罗意在这个探究的旅程中迈出了冲动民意的一步：他假定不止光，物质也有这种可称之为波粒二象性的特性。物质的基本构成单位，好比电子，也是在一些情况下体现的像粒子，一些情况下像波。
德布罗意（Louis de Broglie）, 1892-1987.
德布罗意于1920年提出的看法，与其说基于实行的证据而举行的料想，不如说是遭到爱因斯坦的相对论引发而产生的实际上的奔腾。但是不久之后封建家便发觉了相应实行证据。在十九世纪二十年代后期，粒子被晶格散射的实行证实了电子的“类波”实质。
证实波粒二象性的最出名的实行是双缝干涉实行。在这个实行中，电子（或其他粒子如光子或中子）被射出，会在同一时候穿越有两个狭缝的屏幕。在这个屏幕后另有一个屏幕，可用来探测电子经过狭缝后终极抵达的地点。但是，你在探测屏幕上实践看到的是干涉形式：假如假定电子是波，你才会看到这种形式。波同时穿过两个狭缝，然后当它向一个朝向转达时，它与本身互干系涉。但是在探测屏幕上，当它刚抵达时，电子是以粒子的形态被注意到，这与我们所预期的相反。内幕上这个看起来十分奇异的后果，是以前被反复多数次的实行内幕—以是我们必需承受这就是天下运转的办法。
双缝干涉实行：由穿过狭缝的波的干涉形式
双缝干涉实行：当粒子被发射出狭缝预期后果
双缝干涉实行：粒子（好比电子）穿过狭缝时实践上会产生什么：你会取得相似波的干涉形式，但是电子是作为粒子抵达的。
薛定谔方程
由德布罗意提出的新图像必要新的物理。与一个粒子有关的波毕竟有怎样的数学情势呢？爱因斯坦以前将光子的能量E与光波的频率f接洽了起来，经过公式
我们晓得频率与波长有关。这里c 是光速。接纳相对论的后果，我们可以将光子的能量与动量接洽起来。综合上述结论可给出在光子的波长 λ与动量 p之间的干系式：
此中h为普朗克常数。
基于此，德布罗意假定波长与动量之间的干系式应该关于任何粒子都建立。此时，最好先丢弃你的直觉，不去想体现的像波的粒子毕竟意味着什么，而是仅随着数学的逻辑走下去。
在经典力学中，波（好比声波和水波）随时间的演化，可用动摇方程来形貌：其是一个微分方程，解为波函数，可以给出在随意时候听从得当界限条件的波的外形。
举例来说，假定波沿在x朝向延伸的弦转达，在xy平面内振动。为了完全形貌这个波，你必要晓得在每个点x每个时候t弦在y朝向的位移。使用牛顿第二活动定律可知依照如下动摇方程：
v为波速。
上图为在xy平面内弦振动的照片，这里的波可被余弦函数所形貌。
上述方程的寻常解相当繁复，反应出弦可以依据种种办法举行摆动的内幕。并且你必要更多的信息（初始条件和界限条件）来搞清晰毕竟是哪种活动。但是，作为一个例子，
函数形貌了沿正x朝向以角频率ω转达的波，则正如你所预期的，它是动摇方程一个约莫的解。
薛定谔方程以薛定谔的名字来定名，1887-1961.
相似，应当有一个动摇方程，来统御奥秘的物质波随时间的演化。它的解应该是波函数（不要把它想成实践的波），它会报告你量子体系（好比：在箱子中活动的单个粒子）在时候的一切信息。奥地利物理学家欧文·薛定谔（Erwin Schr?dinger）在1926年想出了这个方程的。关于在三维空间中活动的单个粒子，方程可被写为如下情势：
此中为粒子的势能，势能是x, y, z ,t 的函数， m为粒子质量，h为普朗克常数。方程的解是波函数ψ（x,y,z,t）。
在一些情况下，势能不依托时间t。在这种情况下，我们常常经过思索更简便的时间独立的薛定谔方程来求解这个成绩，在这个方程中，ψ（x,y,z）仅依托空间，有使得以下干系建立：
E此中为粒子总能量。则整个方程的解为：
这些方程可使用于在三维空间活动的单粒子，关于有随意粒子的体系，也有相应的方程来形貌。假如不把波函数写成地点和时间的函数，人们也可以将它们化为动量和时间的函数。
进入不确定性
我们可以从一个简便的例子（好比在无穷深势阱中活动的单个粒子）动身来求解薛定谔方程，它的解与形貌一个波的数学方程十分相似。
这个解毕竟意味着什么？它并不会给出粒子在给定时候的准确地点，也不会给出一个粒子随时间厘革的轨迹。更确切的说，它在给定时间的一切约莫地点（x,y,z）可以给出你一个值ψ（x,y,z,t）。这个值意味着什么？在1926年时，物理学家波恩（Max Born）提出了统计解释。他假定，波函数相对值的平方
会给出在时候t地点找到粒子的概率密度。换句话说，粒子在时间t显如今地区的概率由如下积分给出：
这个概率图像与德布罗意关于粒子波长和动量干系公式有令人受惊的接洽。海森堡在1927年发觉，假如要丈量一个活动粒子的地点和动量，人们有一个基本的精度限定。在某一方面假如想要丈量的精度越高，其他方面人们能说的就越少。这并不是指丈量仪器的质量成绩，而是天然界基本就具有的不确定性。这个后果如今称为海森堡的不确定性原理，且是常常用来引述量子力学奇异征象的几个后果之一。它意味着在量子力学里我们议论不了粒子的地点或轨道。
海森堡（Werner Heisenberg）, 1901-1976.
“假如我们信赖不确定性图像，由于我们关于像‘电子在时候在何处’如此的成绩没有明白的答案，换句话说，一切量子形态的数学表现和形态都只能给我们概率的后果”，布瓦塔说。“德布罗意、薛定谔和爱因斯坦实验提供一个真实的解释，好比：在真空中转达的光波。但是，另有一些物理学家，泡利、海森堡和玻尔反对给显实际的图像。关于他们而言，波函数仅仅是盘算概率的一个东西。”
它真的实用么？
为什么我们要信赖这个想入非非的想法呢？在这篇文章中我们以前展现了薛定谔方程，仿佛它是从空中生拉硬拽出来的，但是它实践来自于何处呢？出名的物理学家理查德.费曼以为这是个偶然义的成绩：“我们从何处取得这个方程？它不克不及由你所晓得的任何知识来推导出来。它来自于薛定谔的大脑。”
但是，这个方程以前担当住了迄今为止的每一个实行的磨练。“这是量子力学中最基本的方程”，布瓦塔说，“这是我们想要形貌的一切量子力学体系（如：电子、质子、中子等体系）的动身点。”这个方程早前告捷地形貌了氢原子的散伙能谱，促进了量子力学的创建，这也是薛定谔的动因之一。依据欧内斯特·卢瑟福的原子模子，像氢原子如此的原子所发射的光的频率应该是一连的。但是实行标明：它并没有一连厘革，氢原子只放出特定频率的光，当频率改动时有腾跃。这个发觉与传统的哲学伶俐南辕北辙，传统的哲学头脑是支持由十七世纪的哲学家和数学家戈特弗里德·莱布尼茨所说的格言的：“大天然不会腾跃（nature does not make jumps）”。
在1913年尼尔斯·玻尔提出了一个新的原子模子，在这个模子中，电子被限定到了特定的能级。薛定谔将它的方程使用于氢原子，发觉他的解准确反复了由玻尔设定的能级。“这是一个冲动民意的后果，也是薛定谔方程最初的主要成果之一”，布瓦塔说。
由于多数告捷实行的支持，薛定谔方程在量子力学中已成为牛顿第二定律的相似物和交换品。
原文泉源：
https://plus.maths.org/content/schrodinger-1
互动成绩
【互动成绩：假定你的猫被薛定谔捉走了，要求你说出本人对量子力学的了解才干放猫，你会说什么？
】
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编纂：aki
