你会背圆的周长和面积公式，但是你晓得它们是怎样来的吗？
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圆形简便、对称、风雅。但是我们毕竟要怎样去度量它呢？就这个成绩而言，但是质是我们要怎样去度量弯曲的外形。
关于圆形，我们必要注意的第一件事变是，圆上的随意一点距离圆心的距离都相称。毕竟，仅有如此它才干够成为一个圆。圆上的随意一点距离圆心的距离，我们称之为圆的半径。由于一切的圆其外形都相反，因此仅有半径可以使一个圆区别于别的一个圆。圆的周长，我们称之为圆周（circumference，拉丁语“随身携带”的意思）。我想，关于圆而言，最天然的度量便是其面积和圆周。
让我们从做一些近似开头吧。假如我们在圆上安排一定数目标等距离的点，然后毗连各点，由此我们就会取得一个正多边形。
这个正多边形的面积和周长的值比圆的相应值要小一些，但这两对值相当接近。假如我们安排更多的点，则可以使这两对值愈加接近。假定我们所使用的点的数目很大，比如说为n。于是，我们就取得一个正 n边形，且其面积和周长与圆的真实面积和周长十分接近。紧张的一点是，随着正 n边形边数的增多，正n边形也会越来越近似于圆。那么，此正多边形的面积又是几多呢？让我们将它切分红 n个相反的三角形吧。
如此，每个三角形的底边长度就即是正多边形的边长，令其为 s。而三角形的高度则是从圆心到正多边形边的距离，我们称该高度为 h。因此，每个三角形的面积为1/2hs，而正多边形的面积则为1/2hsn。注意到 sn恰好是正多边形的周长，因此我们可以得出如末等式：
此中的 p为正多边形的周长。就如此，使用周长和圆心到边长的距离，我们将正多边形的面积准确地表现了出来。
但是，随着边数 n无穷地增大，情况又会怎样呢？显然，正多边形的周长 p将会和圆的周长 C越来越接近，而高度 h也将会迫近圆的半径r。这分析正多边形的面积一定会迫近1/2rC，而同时正多边形的面积也不休在迫近圆的真实面积 A。那么，唯一的结论只约莫是，这两个数值一定相称，即
这标明，圆的面积恰好即是半径与圆周的乘积的一半。
一种思索该结论的好办法是，假想将圆周掀开成一条直线，则该直线和圆的半径恰好构成一个直角三角形。
我们所得出的公式标明，圆形所占据的面积恰好和这个直角三角形的面积相称。
这里，有一种很紧张的办法。仅仅经过做一些近似，我们就不经意地得出了圆的面积的准确表现。紧张的一点是，我们并不但是做了几个准确水平很高的近似，而是做了无量多个近似。我们布局了一个准确水平越来越高的无量近似序列，这无量多个近似以前足以让我们看出此中的形式并取得它们的极限。换句话说，我们可以从一个有形式的无量近似序列中得知真理。因此，将这视为迄今为止人类所产生的最宏大的想法，是有一定真理的。
这种奇妙的办法，我们寻常称之为穷竭法，它是由古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，柏拉图的一位学生）于公元前 370年支配创造的。它让我们可以经过布局无量的直线近似序列来度量弯曲的外形。运用穷竭法布局无量近似序列的窍门是，所布局出的无量序列必需具有某种形式——一个无量的随机数序列并不克不及报告我们什么有代价的信息。因此，仅有一个无量的序列是不够的，我们还必需可以发觉此中的形式从而了解该序列。
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如今，我们以前用圆周将圆的面积表现了出来。但圆周对否也可以度量呢？对正方形而言，用干系于边长的比例来度量周长是很天然的，即周围的长度与一条边长的比值。相反，关于圆，我们也可以接纳如此的办法。经过圆心的直线与圆的两个交点之间的距离，我们称之为圆的直径（显然直径恰好是半径的两倍）。因此，对圆来说，相似的度量将会是圆周与直径的比值，即圆周率。由于一切的圆其外形都相反，
因此，对每一个圆来说，该比值都是相称的。通常，我们使用希腊字母 pi 或 π来表现该比值。π关于圆的意义，正与4关于正方形的意义相反。
要对π的取值做一些近似并不是很困难。比如，假定我们在圆中放入一个内接正六边形。
此正六边形的周长恰好是圆的直径的三倍。由于圆周比此正六边形的周长要长一些，因此，我们得出π的取值要比 3大一些。假如使用边数更多的正多边形，那么我们将会取得准确水平更高的近似值。阿基米德（生存于公元前 250年支配）就曾使用正 96边形，得出了π≈22/7。很多人都有如此的错觉，以为这是一个严厉的等式，但实践上它并不是。π的真实取值要稍弱小一点，一个相对准确的近似值是π≈3.1416，一个更准确的近似值π≈355/113，这个近似值由五世纪时的中国人（祖冲之，小编注）给出。
但是， π的准确取值毕竟是几多呢？很遗憾，关于该取值的消息相当糟糕。由于 π是蛮横数（该实质由兰伯特于 1768年证实），因此，我们不成能将它表现为两个整数的比值。特别是，想要将直径和圆周都表现为同一个计量单位的整数倍，则是相对不成能的。
实践上，我们面临的情况要比处理正方形的对角线时所碰到的情况更糟。固然√2也是蛮横数，但我们最少可以如此表述它，即“其平方为2的数”。换句话说，我们可以使用整数的算术来表达√2所满意的干系式，即它是如此的一个数 x，满意 x2 = 2。我们固然也不晓得√2的取值毕竟是几多，但我们晓得它的实质。
后果标明，π有着不同的情况。它不仅不克不及够用分数表现，内幕上，它也不克不及满意任何的代数干系。π有什么用呢？除了表现圆周率之外，但是它并没有什么别的作用。π就是π。像π如此的数，我们称之为跨越数（transcendental，拉丁语“超出”的意思）。跨越数（它们的数目有很多）基本就超出了代数所具有的表达才能。林德曼于 1882年证实白 π是一个跨越数。这真的很神奇，我们居然还可以晓得像跨越数如此的数。
但是，另一方面，数学家们也发觉了不少π的其他表现办法。好比莱布尼茨于 1674年发觉了如下的公式：
这里的想法是，随着公式右方相加项数的增多，其相加之和也会越来越接近公式右方的数值。因此， π可以表现为无量项之和。该公式最少向我们提供了 π的纯数值表现，并且在哲学上它也十分的幽默。更紧张的是，如此的表现就是我们所能得出的全部。
以上就是故事的全部。圆周和直径的比值是 π。但是，关于如此的比值，我们却无用为力。我们所能做的，只能是将它到场从而扩展我们的言语。
特别地，半径为 1的圆，其直径为 2，因此其圆周为 2π。该圆的面积是半径与圆周乘积的一半，亦即恰好是π。将该圆按比例 r扩大，由此我们取得一个半径为 r的圆，其圆周和面积可由下列公式得出：
C=2πr
A=πr2
值得注意的是，上述第一个公式实践上并无本性内容，它只不外是π的界说的重新表述。第二个公式才真正地有深入的内容，它和我们在前一节中所得的后果等价，即圆的面积即是其半径与圆周乘积的一半。
* 本文摘自《度量：一首献给数学的情歌》P57-63，内容有编削，标题为编者所加，担当权刊登。
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