天天一点统计学——卡方分布
抽样分布有三大使用：T分布、卡方分布和F分布。可以简便用四个字归纳它们的作用：“以小博识”，即经过小数目标样本容量去预估总体容量的分布情况。这里开头先容卡方分布。
卡方分布的界说
若n个互相独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ，均听从标准正态分布，则这n个听从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布纪律称为卡方分布。
卡方分布的概率密度函数
和t分布一样，卡方分布也是一个分布族，其外形也是由参数自在度v来决定，此中，v = n – 1 （n为样本轻重）每个整数自在度对应一个分布。卡方分布以下几个特性：
1、当v即是1或2时，卡方分布是一条先高后低的曲线
2、当v大于2时，卡方分布的外形产生改动，曲线呈具有偏度的钟型；
3、当v很大时，曲线接近正态分布；
卡方分布的概率密度函数
卡方分布的概率密度函数的盘算是依托于一个样本统计量χ2（读作“卡方”），卡方的盘算公式如下：
卡方的盘算公式
卡方的概率密度函数盘算公式如下：
卡方的概率密度函数
卡方分布的用处
卡方分布主要用于反省实践后果与希冀后果之间何时存在明显不同，它主要有两个用处：
-
用于查验拟合优度。也就是查验一组给定的数据与指定分布的切合水平；
-
查验两个变量的独立性。经过卡方分布可以反省变量之间对否存在某种关联。
例子：底下是一台老虎机的希冀概率分布图，此中X表现每一句游戏的收益：
我们搜集了1000局游戏的数据，并纪录了每种后果的察看频数和希冀频数。所谓察看频数，就是每种收益后果的产生次数。而希冀频数就是样本轻重乘以收益产生的概率：
我们怎样晓得实践产生后果是真实的，照旧被人利用呢？换句话说：怎样对察看频数和希冀频数之间的差别举行量度呢？这取决于明显性水平α。
用卡方分布举行的查验为单尾查验，右尾被作为回绝域。经过查察查验统计量（即卡方）对否位于右尾的回绝域以内，就可以推断依据希冀分布得出后果的约莫性。用明显性水平α举行查验，可以写作：
明显性水平
回绝域表现图如下：
回绝域
求解卡方分布的回绝域，可以使用卡方概率表
卡方概率表
假如明显性水平是5%，就可以推断老虎机受人利用。依据这个标准来举行盘算：
1、确定要举行查验的假定；
假定：每局收益不切合概率分布
2、求出希冀频数和自在度；
希冀频数以前纪录，每局游戏约莫显现5种后果，即自在度v=4
3、确定用于做决定的回绝域；
自在度为4.明显性水平位5%的阻遏域。
依据卡方概率表，可得出回绝域为卡方>9.49的范围
（卡方概率表，横轴代标明显性水平，竖轴代表自在度，交织值即为临界值）
4、盘算查验统计量卡方；
依据卡方的盘算公式，可得出查验统计量为38.272
5、查察查验统计量对否位于回绝域以内；
查验统计量在回绝域以内（38.272> 9.49）
6、作出决定
以是假定是错误的，老虎机收益后果切合概率分布
